Question

【題目】如圖1，在面積為49cm2的等腰Rt△ABC紙板中，在直角邊AB，AC上各取一點E，F，BE＝CF，D為BC的中點，將△BDE，△CDF分別沿DE，DF折疊，對應邊B′D，C′D分別交AB，AC于點G，H，再將△AGH沿GH折量，點A的對應點A落在△GHD的內部（如圖2所示），翻面畫上眼睛和鼻子，得到了一幅可愛的“貓臉圖”（如圖3所示），若點B′與點C′之間的距離為cm，則五邊形GHFDE的面積為_____cm2．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AD，B′C′，EF，AD交GH于J，交B′C′于Q，交EF于P，EF交C′D于N．在Rt△DHB′中，利用勾股定理求出DQ，tan∠QDC′＝＝＝，設JH＝3a，JD＝4a，則AJ＝JH＝3a，構建方程求出a，設PN=3b，PD=4b，同理可求得b=，即可解決問題．

解：如圖，連接AD，B′C′，EF，AD交GH于J，交B′C′于Q，交EF于P，EF交C′D于N．則由折疊的性質知BC//EF//GH// B′C′．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，

∵S△ABC＝BCAD＝AD2＝49，

∴AD＝BD＝CD＝7，

由題意：B′Q＝C′Q＝，

在Rt△DQB′中，DQ＝＝，

∴tan∠QDC′＝＝＝，設JH＝3a，JD＝4a，則AJ＝JH＝3a，

∴7a＝7，

∴a＝1，

∴JH＝AJ＝3，DJ＝4，

設PN=3b，PD=4b，則ND=5b．

∵BC//EF，

∴∠PND=∠NDC，

∵∠PND=∠NDF+∠NFD，∠NDC=∠NDF+∠FDC，∠NDF=∠FDC，

∴∠NDF=NFD，

∴NF=ND=5b，

∴PF=3b+5b=8b．

∵∠AFP=∠C=45°，

∴AP=PF=5b，

∴AD=8b+4b=12b，

∴12b=7，

∴b=，

∴PD=．

∴S五邊形GHFDE＝S△ABC﹣S△AHG﹣2S△DFC

＝49﹣×6×3﹣2××7×

＝，

故答案為．