Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF=DC，連接CF．
（1）試說明：D是BC的中點；
（2）若AB=13，BC=10，AD=12，試猜測四邊形ADCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AF∥BC，E是AD的中點，易證得△AEF≌△DEB，可得BD=AF，又由AF=DC，即可證得D是BC的中點；
（2）由AF=DC，AF∥BC，可得四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=13，BC=10，AD=12，可證得∠ADC=90°，則可證得四邊形ADCF是矩形．

解答：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
∵

∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE

，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵AF=DC，
∴BD=DC，
∴D是BC的中點；

（2）四邊形ADCF是矩形．
證明：∵AF=DC，AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AB=13，BC=10，AD=12，
∴BD=

1

2

BC=5，
∴AB²=BD²+AD²，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF是矩形．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定、全等三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．