Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣6x+c與x軸交于點A、B（5，0），與y軸交于點C（0，5），點P是拋物線上的動點，設點P的橫坐標為t，連接PB、PC，PC與x軸交于點D，過點P作y軸的平行線交x軸于點H、交直線BC于點E．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；
（2）若點P在第四象限，則△BPC的面積有值（填“最大”或“最小”），并求出其值；
（3）當t＜5時，△BPE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（5，0），C（0，5），

∴c=5，0=25a﹣30+c，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2﹣6x+5；

（2）最大
（3）

解：存在．理由如下：

由題意可知P（t，t2﹣6t+5），則H（t，0），E（t，﹣t+5），且△BHE為等腰直角三角形，

∴BE= BH= （5﹣t），

∵△BPE為等腰三角形，

∴有PE=PB、BE=BP和BE=PE三種情況，

①當PE=PB時，由于∠PEB=45°，

∴△PEB為等腰直角三角形，點P在A點處，即P（1，0），符合題意；

②當BE=BP時，由于PE⊥BH，

∴HE=HP，即點E與點P關于x軸對稱，

∴﹣t+5+t2﹣6t+5=0，解得t=2或t=5（不合題意，舍去），

∴P（2，﹣3）；

③當BE=PE時，

∵△EHB為等腰直角三角形，

∴BE= HB= （5﹣t），且PE=|﹣t2+5t|，

∴|﹣t2+5t|= （5﹣t），解得t=± 或t=5（不舍題意，舍去），

∴P（ ，7﹣6 ）或（﹣ ，7+6 ）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（1，0）或（2，﹣3）或（ ，7﹣6 ）或（﹣ ，7+6 ）．

【解析】（2）∵B（5，0），C（0，5），
∴直線BC解析式為y=﹣x+5，
∵P的橫坐標為t，連接PB、PC，PC與x軸交于點D，過點P作y軸的平行線交x軸于點H、交直線BC于點E．
∴P（t，t2﹣6t+5），E（t，﹣t+5），
∴PE=﹣t+5﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，
∴S△PBC= OBPE= ×5（﹣t2+5t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴S△PBC有最大值，最大值為 ，
所以答案是：最大；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．