Question

小許在動手操作時，發現直角邊長分別為6，8和直角邊長分別為2，14的兩個直角三角形中（如圖①），∠1和∠2可以拼成一個45°的角（如圖②），但他不會說理，于是找來幾個同學一起研究這個問題．
（1）甲同學發現，只要在圖③中連接CC₁，過C作CD⊥B₁C₁，交C₁B₁的延長線于點D并能計算出CC₁的長度，就可以說明△ACC₁是等腰直角三角形，從而說明∠1+∠2=45°，請寫出甲同學的說理過程；
（2）乙同學發現，只要兩個直角三角形的直角邊長分別為a，b和直角邊長分別為a+b，a-b（a＞b），利用兩個直角三角形構造出的矩形（如圖④），同樣可以說明∠1+∠2=45°，請寫出乙同學的說理過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題干條件知CD=6，DC₁=8，在直角三角形中利用勾股定理求出AC₁和CC₁的長度，進而求得AC²+CC₁²=200=AC₁²，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC₁=90°，再知AC=CC₁，即可證明出∠1+∠2=45°，
（2）連接CC₁由已知易得：CD=a，DC₁=b，在直角三角形中利用勾股定理求出AC₁和CC₁的長度，進而求得AC²+CC₁²=AC₁²，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC₁=90°，再知AC=CC₁，即可證明出∠1+∠2=45°．
解答：解：（1）由已知易得：CD=6，DC₁=8
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=10，（1分）
在Rt△CDC1中，CC₁=10，（2分）
在Rt△ABC中，AC₁=10（3分）
在△ACC₁中，AC²+CC₁²=200=AC₁²
∴∠ACC₁=90°（4分）
又∵AC=CC₁=10，
∴∠CAC₁=∠1+∠2=45°（5分）

（2）連接CC₁
由已知易得：CD=a，DC₁=b
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=，（6分）
在Rt△CDC₁中，CC₁=，（7分）
在Rt△ABC中，AC₁=（8分）
在△ACC₁中，AC²+CC₁²=AC₁²
∴∠ACC₁=90°（9分）
又∵AC=CC₁，
∴∠CAC₁=45°
∴∠1+∠2=45°．（10分）
點評：本題主要考查等腰直角三角形的知識點，解答本題的關鍵是熟練利用勾股定理和逆定理，本題難度不是很大，但是做題的時候需要細心．