Question

（2003•廣州）已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合）
（1）如圖，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；
（2）當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行線等分線段定理得到點P是斜邊的中點，再直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，要求線段CP的長，只需根據勾股定理求得AB的長．
（2）若PQ與AC不平行，則要使△CPQ成為直角三角形．只需保證∠CPQ=90°．根據直徑所對的圓周角是直角，則分析以CQ為直徑的圓和斜邊AB的公共點的情況：一是半圓和AB相切；二是半圓和AB相交．首先求得相切時CQ的值，即可進一步求得相交時CQ的范圍．
解答：解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=13；
∵Q是BC的中點，
∴CQ=QB；
又∵PQ∥AC，
∴AP=PB，即P是AB的中點，
∴Rt△ABC中，CP=．

（2）當AC與PQ不平行時，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ為直徑作半圓D，
①當半圓D與AB相切時，設切點為M，連接DM，則
DM⊥AB，且AC=AM=5，
∴MB=AB-AM=13-5=8；
設CD=x，則DM=x，DB=12-x；
在Rt△DMB中，DB²=DM²+MB²，
即（12-x）²=x²+8²，
解之得x=，
∴CQ=2x=；
即當CQ=且點P運動到切點M位置時，△CPQ為直角三角形．
②當＜CQ＜12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，△CPQ為直角三角形
③當0＜CQ＜時，半圓D與直線AB相離，即點P在AB邊上運動時，均在半圓D外，∠CPQ＜90°，此時△CPQ不可能為直角三角形．
∴當≤CQ＜12時，△CPQ可能為直角三角形．
點評：綜合運用了直角三角形的性質、圓周角定理的推論以及切線的性質和勾股定理進行計算．