Question

【題目】（2016浙江省衢州市）如圖1，在直角坐標系xoy中，直線l：y=kx+b交x軸，y軸于點E，F，點B的坐標是（2，2），過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A、C，點D是線段CO上的動點，以BD為對稱軸，作與△BCD或軸對稱的△BC′D．

（1）當∠CBD=15°時，求點C′的坐標．

（2）當圖1中的直線l經過點A，且時（如圖2），求點D由C到O的運動過程中，線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積．

（3）當圖1中的直線l經過點D，C′時（如圖3），以DE為對稱軸，作于△DOE或軸對稱的△DO′E，連結O′C，O′O，問是否存在點D，使得△DO′E與△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C′（，1）；（2）；（3）存在，k=，b=1．

【解析】試題（1）利用翻折變換的性質得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，進而得出CH的長，進而得出答案；

（2）首先求出直線AF的解析式，進而得出當D與O重合時，點C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，求出即可；

（3）根據題意得出△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，進而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的長進而得出答案．

試題解析：（1）∵△CBD≌△C′BD，∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，∴∠CBC′=30°，如圖1，作C′H⊥BC于H，則C′H=1，HB=，∴CH=，∴點C′的坐標為：（，1）；

（2）如圖2，∵A（2，0），，∴代入直線AF的解析式為：，∴b=，則直線AF的解析式為：，∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，∵在點D由C到O的運動過程中，BC′掃過的圖形是扇形，∴當D與O重合時，點C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，當C′在直線上時，BC′=BC=AB，∴△ABC′是等邊三角形，這時∠ABC′=60°，∴重疊部分的面積是：=；

（3）如圖3，設OO′與DE交于點M，則O′M=OM，OO′⊥DE，若△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，在點D由C到O的運動過程中，△COO′中顯然只能∠CO′O=90°，∴CO′∥DE，∴CD=OD=1，∴b=1，連接BE，由軸對稱性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，在Rt△BAE和Rt△BC′E中，∵BE=BE，AB=BC′，∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），∴AE=C′E，∴DE=DC′+C′E=DC+AE，設OE=x，則AE=2﹣x，∴DE=DC+AE=3﹣x，由勾股定理得：，解得：x=，∵D（0，1），E（，0），∴，解得：k=，∴存在點D，使△DO′E與△COO′相似，這時k=，b=1．