Question

（2013•內江）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=

5

．

Answer 1

分析：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，根據勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答：解：
作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M為BC中點，
∴Q為AB中點，
∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CP=

1

2

AC=3，BP=

1

2

BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案為：5．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置．