Question

已知關于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩實數根分別為x₁，x₂
（1）求k的取值范圍；
（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；
（3）若點A（x₁，x₂）在反比例函數的圖象上，求滿足條件的k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得△≥0，代入相應數據進行計算即可；
（2）把x=1代入x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0中可得1-2（k-3）+k²-4k-1=0，再解方程即可；
（3）根據反比例函數圖象上點的坐標特點可得x₁x₂=-5，再根據一元二次方程根與系數的關系可得k²-4k-1=-5，再解方程即可．
解答：解：（1）由題意得：△≥0，
[-2（k-3）]²-4×1×（k²-4k-1）≥0，
解得：k≤5；

（2）把x=1代入x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0中：1-2（k-3）+k²-4k-1=0，
解得：k=3±；

（3）∵點A（x₁，x₂）在反比例函數的圖象上，
∴x₁x₂=-5，
∴k²-4k-1=-5，
解得：k=2．
點評：此題主要考查了根的判別式，以及根與系數的關系，一元二次方程的解，關鍵是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．