Question

如圖，四邊形AODB是邊長為2的正方形，C為BD中點，以O為原點，OA、OD所在直線為坐標軸建立直角坐標系，使D、A分別在x軸、y軸的正半軸上．
（1）求直線AC的解析式；
（2）若EC⊥AC于C，交x軸于點E，連接AE，求直線AE的解析式；
（3）求證：∠BAC=∠CAE．

Answer 1

解：（1）由題意知A（0，2），C（2，1），設直線AC為y=kx+b（k≠0）．則
，
解得，，
∴直線AC的解析式為：y=-x+2；

（2）設直線AE的解析式為：y=ax+t（a≠0）．
∵如圖，EC⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠CED（同角的余角相等）．
又∵∠B=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
∴=，即=，∴DE=，則E（，0）．
又∵A（0，2），
∴，
解得，，
∴直線AE的解析式是y=-x+2；

（3）證明：如圖，設直線AC交x軸與F．
∵由（1）知，直線AC的解析式為y=-x+2，則F（4，0）．∴OF=4．
又∵A（0，2），E（，0），
∴AE=EC=，
∵EC⊥AC，
∴AE=EF，
∴∠1=∠3．
又∵AB∥OF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即∠BAC=∠CAE．
分析：（1）根據正方形的性質即可求得點A、C的坐標，然后將點A、C的坐標分別代入直線AC的解析式y=kx+b（k≠0），列出關于k、b的方程組，通過解方程組來求k、b的值；
（2）通過相似三角形（△ABC∽△CDE）的對應邊成比例得到=，由該比例式可以求得線段DE的長度，則易求點E的坐標，所以理應待定系數法可以求得直線AE的解析式；
（3）首先，根據直線AC的解析式求得點F的坐標F（4，0），則OF=4．然后，根據勾股定理、線段間的和差關系求得AE=EF；最后，由等腰△AEF的性質推知∠1=∠3，平行線AB∥OF的性質推知∠2=∠3，等量代換證得結論．
點評：本題考查了待定系數法求一次函數解析式，等腰三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質．解答（3）題時，也可以利用全等三角形的判定與性質進行證明．