Question

正方形ABCD中，E為AD上的一點（不與A、D點重合），AD=nAE，BE的垂直平分線分別交AB、CD于F、G兩點，垂足為H．
（1）如圖1，當n=2時，則=______；
（2）如圖1，當n=2時，求的值；
（3）延長FG交BC的延長線于M（如圖2），直接填空：當n=______時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過點H作HM⊥AD，構建平行線HM∥GD，由平行線分線段成比例定理可得==；
（2）如圖2，連接EG、BG．構建直角三角形BGC和直角三角形DEG．由正方形ABCD的性質、線段垂直平分線的性質、已知條件“當n=2時，AD=2AE”設AB=BC=CD=AD=4x，CG=y，利用勾股定理求得BG²=（4x）²+y²=EG²=（2x）²+（4x-y）²，解得DG=DC-CG=；然后根據相似三角形Rt△BHF∽Rt△BAE的對應邊成比例可得BF=；最后將其代入所求的代數式求值即可；
（3）如圖3，可通過構建相似三角形求解，過點H作HK⊥BC于點K，那么HN=KC，MH=AK，根據（1）中圖1知FH：HG=AM：MD=1：2n-1，由此可以求得DE的長度；再根據已知條件“”可以求得CM的長度；最后利用△CMG∽△BMF的對應邊成比例即可求得n的值．
解答：解：（1）如圖1，過點H作HM⊥AD于M．
∵BE的垂直平分線分別交AB、CD于F、G兩點，HM⊥AD，
∴MH是△ABE的中位線，
∴AM=ME；
∵AD=2AE，
∴AM=DM，
∴==（平行線分線段成比例定理），
故答案為：；

（2）如圖2，連接EG、BG．
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=∠C=90°．
設AB=BC=CD=AD=4x，CG=y．
當n=2時，AD=2AE，
∴AE=ED=2x；
在Rt△EDG中，EG²=ED²+DG²（勾股定理），
即EG²=（2x）²+（4x-y）²．
在Rt△BCG中，BG²=BC²+CG²，
即BG²=（4x）²+y²．
∵FG垂直平分BE，
∴EG=BG．
∴（2x）²+（4x-y）²=（4x）²+y²
得y=，
∴DG=DC-CG=．
∵FH⊥BE，
∴∠BHF=90°
可得Rt△BHF∽Rt△BAE，可得BF=．
∴；

（3）n=．
點評：本題綜合考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識點．要充分利用好正方形的性質，通過已知和所求的條件構建出相似三角形來求解是解題的關鍵．