Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點，動點E在BA邊上自由移動，動點F在AC邊上自由移動．  
(1)點E、F的移動過程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形？若能，請指出    
△OEF為等腰三角形時動點E、F的位置．若不能，請說明理由．  
(2)當∠EOF=45°時，設BE=x，CF=y，求y與x之間的函數解析式，寫出x的取值范圍．  
(3)在滿足(2)中的條件時，若以O為圓心的圓與AB相切（如圖），試探究直線EF與的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：(1)點E、F移動的過程中，AOEF能成為∠EOF=45°的等腰三角形． 
 此時點E，F的位置分別是： 
 ①E是BA的中點，F與A重合．
 ②BE=CF=  ③E與A重合，F是AC的中點．  
(2)在AOEB和△F OC中，  
∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB＝135°，  
∴∠FOC=∠OEB.
又∵∠B＝∠C，  
∴△OEB∽△FOC
∴
∵BE＝x,CF＝y,    OB=OC=
∴y=  
(3)EF與⊙O相切，
∴△OEB∽△FOC
∴．即
 又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF.  
∴∠BEO+∠OEF ∴點O到AB和EF的距離相等．  
∵AB與⊙O相切，  
∴點O到EF的距離等于⊙O的半徑，  
∴EF與⊙O相切．