Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，連接BC

點G是直線BC上方拋物線上一動點不與B、C重合，過點G作y軸的平行線交直線BC于點E，作于點F，點M、N是線段BC上兩個動點，且，連接DM、當的周長最大時，求的最小值；

如圖2，連接BD，點P是線段BD的中點，點Q是線段BC上一動點，連接DQ，將沿PQ翻折，且線段的中點恰好落在線段BQ上，將繞點O逆時針旋轉得到，點T為坐標平面內一點，當以點Q、、、T為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點T的坐標．

Answer 1

【答案】（1）最小值為；（2）點T的坐標為或或

【解析】

先求出點B、C、D的坐標，可求直線BC解析式且得到由軸和可得是等腰直角三角形，則GE最大時其周長最大設點G坐標為，則點，可列得GE與a的函數關系式，配方可求出其最大值，得到此時的G坐標和EF的長，即得到MN長求最小值轉化為求最小值先作D關于直線BC的對稱點，再通過平移得，構造“將軍飲馬”的基本圖形求解．

由翻折得DD′⊥PQ，PD=PD′，再由P為BD中點證得∠BD′D=90°，得PQ//BD′，又D′P中點H在BQ上，可證≌△D′BH，所以有D′Q//BP，即四邊形DQ D′P為菱形，得設Q點坐標為即可列方程求得再根據題意把點A′、C′求出以點Q、、、T為頂點的四邊形是平行四邊形，要進行分類討論，結合圖形，利用平行四邊形對邊平行的性質，用平移坐標的方法即可求得點T．

，

拋物線與x軸交于點、點，與y軸交于點，頂點，

直線CB解析式：，，

軸，，

，，

是等腰直角三角形，，

，

設點，則點，其中，

，

時，GE有最大值為，

的周長最大時，，，

，E點可看作點F向右平移個單位、向下平移個單位，

如圖1，作點D關于直線BC的對稱點，過N作且，

，即

，

當、N、G在同一直線上時，為最小值，

，

最小值為；

連接DD′、D′B，設D′P與BQ交點為如圖，

沿PQ翻折得△D′PQ，

∴DD′⊥PQ，PD=PD′，DQ=D′Q，∠DQP=∠D′QP，

為BD中點，

∴PB=PD=PD′，，

∴△BDD′是直角三角形，∠BD′D=90°，

∴PQ//BD′，

∴∠PQH=∠D′BH，

為D′P中點，

∴PH=D′H，

在與△D′BH中

，

≌△D′BH （AAS），

∴PQ=BD′，

四邊形BPQD′是平行四邊形，

∴D′Q//BP，

∴∠DPQ=∠D′QP，

，

，

，

設，

，

解得：，舍去，

點Q坐標為，

繞點O逆時針旋轉得到，

∴A′，C′，

∴A′、C′橫坐標差為，縱坐標差為，

A′、Q橫坐標差為，縱坐標差為，

當有平行四邊形A′C′TQ時如圖，點T橫坐標為，縱坐標為；

當有平行四邊形A′C′QT時如圖，點T橫坐標為，縱坐標為；

當有平行四邊形A′TC′Q時如圖，點T橫坐標為，縱坐標為，

綜上所述，點T的坐標為或或.