Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3

5

．點O為BC邊上的動點，以O為圓心，BO為半徑的⊙O交邊AB于點P．
（1）設OB=x，BP=y，求y與x的函數關系式，并寫出函數定義域；
（2）當⊙O與以點D為圓心，DC為半徑⊙D外切時，求⊙O的半徑；
（3）連接OD、AC，交于點E，當△CEO為等腰三角形時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先作OM⊥BD，即可滿足垂徑定理，在直角△OBM中求得BM的長，即可求得BP；
（2）連接OD．作AN⊥BC，根據三角函數即可求得CD的長，根據兩圓相外切時，圓心距等于半徑的和即可得到一個關于半徑長的一個方程，即可求得半徑長；
（3）當△CEO為等腰三角形時，利用當EO=EC時，當CE=CO時，分別求得圓的半徑．

解答：解：（1）作OM⊥BP，
則BP=2BM．
在直角△BMO中，
cosB=

BM

OB

=

3

5

．
∴BM=OB•cosB=

3

5

x．
則BP=2BM=

6

5

x．
∴函數的解析式是：y=

6

5

x（0＜x≤

25

6

）；

（2）連接OD．作AN⊥BC．
∵在直角△ABN中，cosB=

BN

AB

=

3

5

．
∴BN=AB•cosB=5×

3

5

=3．
則AN=CD=4．
在直角△OCD中，OC=BC-OB=6-x，CD=4．
則OD=

(6-x)2+16

．
當兩圓相切時：

(6-x)2+16

=x+4
解得：x=1.8；

（3）在Rt△ACD中，AC=5，設⊙O的半徑為x，
當EO=EC時，∠EOC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EOC，
∴AB∥OD，
又∵AD∥BC，
∴OB=AD=3，
∴⊙O的半徑為3，
當OE=OC時，∠ECO=∠CEO，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ECO，
∵∠AED=∠CEO，∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=3，
∴OD=OE+DE=6-x+3=9-x，
在Rt△OCD中，
∵CD²+OC²=OD²，
∴4²+（6-x）²=（9-x）²，
解得：x=

29

6

（不合題意舍去）
當CE=CO時，∠CEO=∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠COE，
∵∠AED=∠CEO，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE=3，
∵CE+AE=AC，
∴6-x+3=5，
∴x=4，
∴⊙O的半徑為4．
綜上所述，當△CEO為等腰三角形時，⊙O的半徑為3或4．

點評：本題考查了三角函數，以及外切兩圓的性質，關鍵是理解兩圓外切的性質：圓心距=兩圓半徑的和．