Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2過點A（﹣3，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知直線l過點A，M（，0）且與拋物線交于另一點B，與y軸交于點C，求證：MC2＝MAMB；

（3）若點P，D分別是拋物線與直線l上的動點，以OC為一邊且頂點為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）見解析；（3）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）構建方程組確定點B的坐標，再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．

（3）如圖2中，設P（t，t2），根據PD＝CD構建方程求出t即可解決問題．

解：（1）把點A（﹣3，）代入y＝ax2，

得到＝9a，

∴a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2．

（2）設直線l的解析式為y＝kx+b，則有，

解得，

∴直線l的解析式為y＝﹣x+，

令x＝0，得到y＝，

∴C（0，），

由，解得或，

∴B（1，），

如圖1中，過點A作AA1⊥x軸于A1，過B作BB1⊥x軸于B1，則BB1∥OC∥AA1，

∴＝＝＝，＝＝＝，

∴＝，

即MC2＝MAMB．

（3）如圖2中，設P（t，t2）

∵OC為一邊且頂點為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，

∴PD∥OC，PD＝OC，

∴D（t，﹣t+），

∴|t2﹣（﹣t+）|＝，

整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，

解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍棄），

∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．