Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑圓弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　　）

A．①②③     B．①②④     C．①③④     D．②③④

　

Answer 1

B【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質．

【分析】（1）由作圖可得出直線ED為線段BC的中垂線，即可得出①ED⊥BC正確；

（2）由直角三角形斜邊中線相等可得AE=BE，∠A=∠EBA；故②正確；

（3）利用假設法證明得出△ABE為等邊三角形與△ABE為等腰三角形矛盾．故③錯誤；

（4）利用ED是△ABC的中位線可得ED=AB，故④正確．

【解答】解：由題意可得直線ED為線段BC的中垂線，

∴ED⊥BC；故①正確；

∵∠ABC=90°，ED⊥BC；

∴DE∥AB，

∵點D是BC邊的中點，

∴點E為線段AC的中點，

∴AE=BE，

∴∠A=∠EBA；故②正確；

如果EB平分∠AED；

∵∠A=∠EBA，DE∥AB，

∴∠A=∠EBA=∠AEB，

∴△ABE為等邊三角形．

∵△ABE為等腰三角形．故③錯誤；

∵點D是BC邊的中點，點E為線段AC的中點，

∴ED是△ABC的中位線，

∴ED=AB，故④正確．

故選：B．

【點評】本題主要考查了基本作圖及線段的垂直平分線，解題的關鍵是確定ED是為線段BC的中垂線．