Question

如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交ED于點P．若AE=AP=1，PB=．則正方形ABCD的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：求出△AEB≌△APD，推出∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=135°，求出EP，過B作BF⊥AE交AE的延長線于F，連接BD，
求出BE=，由勾股定理求出BF=EF=，求出S_△APB+S_APD=+，S_△DPB=×DP×BE=，即可求出答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，AE=AP=1，
∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠BAP=∠BAP，
∴∠EAB=∠PAD，
∵在△EAB和△PAD中

∴△EAB≌△PAD（SAS），
∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°，
∴∠PEB=135°-45°=90°，
即△BEP是直角三角形，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理得：EP==BE=DP==，
過B作BF⊥AE交AE的延長線于F，連接BD，
則∠PEB=180°-135°=45°，
∴∠EBF=45°=∠FEB，
∴EF=BF，
∵BE=，
∴由勾股定理得：BF=EF=，
∴S_△APB+S_△APD=S_△APB+S_△AEB=S_{四邊形AEBP}=S_△AEF+S_△PEB=×1×1+××=+，
∵S_△DPB=×DP×BE=××=，
∴S正方形ABCD=2S_△ABD=2（S_△BPD+S_△APD+S_△APB）=2×（++）=4+，
故答案為：4+．
點評：本題考查了正方形性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定，三角形的面積的應用，關鍵是分別求出△APD、△APB、△BPD的面積．