Question

關于x的方程x²-（2a-1）x+（a-3）=0．
（1）求證：無論a為任何實數，該方程總有兩個不等實數根；
（2）以該方程的兩根為一直角三角形的兩直角邊長，已知該三角形斜邊上的中線長為，求實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證：無論a為任何實數，該方程總有兩個不等實數根，只要證明根的判別式△＞0即可；
（2）根據直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，已知該三角形斜邊上的中線長為，即已知直角三角形斜邊的長是，即兩直角邊的平方和是35，利用勾股定理結合根與系數的關系，即可得到關于a的方程，求出a的值．
解答：（1）證明：∵△=（2a-1）²-4（a-3）=4a²-4a+1-4a+12=4a²-8a+4+9=4（a-1）²+9＞0，
∴無論a為任意實數，方程總有兩不等實數根．

（2）解：由題意得：x₁²+x₂²=35，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=35
∵x₁+x₂=2a-1，x₁x₂=a-3，
∴（2a-1）²-2（a-3）=35，
解得a=-2或．
由于方程的兩根是三角形的邊長，則兩根之和2a-1＞0且a-3＞0
則a＞3
∴a=
答：實數a的值是．
點評：本題解決的關鍵是依據直角三角形的性質，由已知斜邊上的中線長為，能轉化為方程的根的關系，從而轉化為解方程的問題求解．