Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從A點出發，以3個單位長度/秒的速度沿AD?DC向終點C運動，同時點Q從點B出發，以1個單位長度/秒的速度沿BA向點A運動，當有一點到達終點時，P、Q就同時停止運動．設運動的時間為t秒．
（1）用t的代數式分別表示P、Q運動的路程；
（2）求出梯形ABCD的面積；
（3）當t為多少秒時，四邊形PQBC為平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）因為P、Q分別以3個單位/秒、1個單位/秒的速度前進，根據路程=速度×時間，可知P、Q運動的路程分別為3t、t；
（2）過點C作CE∥AD交AB于點E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，從而構建平行四邊形AECD和等腰三角形，根據勾股定理和梯形面積公式求解；
（3）用反推法，先假設四邊形PQBC為平行四邊形，根據BQ=PC求出t．

解答：解：（1）P、Q運動的路程分別是3t、t；（2分）

（2）過點C作CE∥AD交AB于點E，過點C作CF⊥AB，垂足為F
在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，
又CE∥AD
∴四邊形AECD為平行四邊形
∴CE=AD=BC=5，AE=CD=7
∴BE=AB-AE=13-7=6
在等腰△ECB中CF⊥AB，
∴F是BE的中點
∴EF=3
在Rt△CEF中CE=5，EF=3由勾股定理得
∴CF=4
∴梯形ABCD的面積=

(AB+CD)×CF

2

=

(13+7)×4

2

=40．（7分）

（3）當四邊形PQBC為平行四邊形時
PC=BQ即可
PC=5+7-3t，BQ=t
∴5+7-3t=t
∴t=3
當t=3秒時，四邊形PQBC為平行四邊形．（12分）

點評：本題考查了等腰梯形的性質，通過與等腰三角形和勾股定理結合求解．