Question

（2012•保康縣模擬）如圖，已知拋物線y=-

2

5

x²+

8

5

x+2交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A、B、C的坐標．
（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積．
（3）連接AC，在x軸上是否存在點P使△ACP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0求A、B兩點橫坐標，令x=0求C點縱坐標；
（2）由拋物線頂點坐標公式求M點坐標，過M作MN垂直y軸于N，根據S_△BCM=S_OBMN-S_△OBC-S_△MNC求△BCM的面積；
（3）根據AC為腰，AC為底兩種情況求P點坐標．當AC為腰時，分為A為等腰三角形的頂點，C為等腰三角形的頂點，兩種情況求P點坐標；當AC為底時，作線段AC的垂直平分線交x軸于P點，利用三角形相似求OP．

解答：解：（1）令-

2

5

x²+

8

5

x+2=0，解得x₁=-1，x₂=5．
令x=0，則y=2，
所以A、B、C的坐標分別是A（-1，0）、B（5，0）、C（0，2）；

（2）頂點M的坐標是M（2，

18

5

）．
過M作MN垂直y軸于N，
所以S_△BCM=S_OBMN-S_△OBC-S_△MNC
=

1

2

（2+5）×

18

5

-

1

2

×5×2-

1

2

×（

18

5

-2）×2
=6；

（3）當以AC為腰時，在x軸上有兩個點分別為P₁，P₂，易求AC=

5

，
則0P₁=1+

5

，OP₂=

5

-1，
所以P₁，P₂的坐標分別是P₁（-1-

5

，0），P₂（

5

-1，0）；
當以AC為底時，作AC的垂直平分線交x軸于P₃，交y軸于F，垂足為E，
CE=

AC

2

=

5

2

，
易證△CEF∽△COA，
所以

CF

CE

=

CA

CO

，
所以

CF

5 2

=

5

2

，
CF=

5

4

，OF=OC-CF=2-

5

4

=

3

4

，
EF=

CF2-CE2

=

( 5 4 )2-( 5 2 )2

=

5

4

．
又∵△CEF∽△P₃OF，
所以，

CE

EF

=

OP3

OF

，
求得OP₃=

3

2

則P₃的坐標為P₃（

3

2

，0）．
AC=PC，則P₄（1，0）．
所以存在P₁、P₂、P₃、P₄四個點，它們的坐標分別是P₁（-1-

5

，0）、P₂（

5

-1，0）、P₃（

3

2

，0）、P₄（1，0）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據二次函數的解析式求拋物線與坐標軸的交點坐標，頂點坐標，根據等腰三角形的性質，分類討論，求滿足條件的P點坐標．