Question

如圖①：四邊形ABCD為正方形，M、N分別是BC和CD中點，AM與BN交于點P，
（1）請你用幾何變換的觀點寫出△BCN是△ABM經過什么幾何變換得來的；
（2）觀察圖①，圖中是否存在一個四邊形，這個四邊形的面積與△APB的面積相等？寫出你的結論．（不必證明）
（3）如圖②：六邊形ABCDEF為正六邊形，M、N分別是CD和DE的中點，AM與BN交于點P，問：你在（2）中所得的結論是否成立？若成立，寫出結論并證明，若不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的定義即可解答；
（2）根據△ABM≌△BCN即可判斷；
（3）四邊形BCDN是四邊形ABCM繞點O逆時針旋轉60°得到，則兩個四邊形的面積相同，據此即可判斷．
解答：解：（1）△BCN是△ABM繞正方形中心O逆時針旋轉90°得到的（2分）
（△BCN是△ABM沿BC方向平移BC長，使點B與點C重合，再繞點C逆時針旋轉90°得到的）

（2）S_{四邊形PMCN}=S_△APB（3分）

（3）（2）中結論仍成立，即：S_{四邊形PMDN}=S_△APB（4分）
證明：設正六邊形ABCDEF中心為O
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MON=60°，
AO=BO，BO=CO，CO=DO，MO=NO．
∴四邊形BCDN是四邊形ABCM繞點O逆時針旋轉60°得到的（6分）
∴S_{四邊形BCDN}=S_{四邊形ABCM}
∴S_{四邊形BCDN}-S_{四邊形BCMP}=S_{四邊形ABCM}-S_{四邊形BCMP}（7分）
即：S_{四邊形PMDN}=S_△APB
點評：本題主要考查了圖形的旋轉，正確理解全等的兩個圖形的面積相等．