Question

在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²，其中正確的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②③
D．①③

Answer 1

【答案】分析：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；
②由于∠DAE=45°，若∠AED=45°，那么∠ADE=90°，而AD不一定與BC垂直，由此即可確定是否是否正確；
③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定說法是否正確；
④據①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．
解答：解：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正確；
②∵∠DAE=45°，若∠AED=45°，
那么∠ADE=90°，而AD不一定與BC垂直，
故②不正確；
③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
 故③錯誤；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²，故④正確．
故選B．
點評：此題主要考查圖形的旋轉變換，解題時注意旋轉前后對應的相等關系．