Question

（2005•紹興）如圖矩形ABCD中，過A，B兩點的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，連接EF．
（1）求證：∠CEF=∠BAH；
（2）若BC=2CE=6，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據弦切角定理得到∠FEC=∠EBC，根據等角的余角相等得到∠BAH=∠EBC，從而根據等量代換進行證明；
（2）根據切割線定理EC²=CF•BC，計算得到CF的長，再進一步計算BF的長．
解答：（1）證明：∵CD切⊙O于E，
∴∠FEC=∠EBC．
∵ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°．
∵AH⊥BE，
∴∠BAH=∠EBC，
∴∠FEC=∠BAH．

（2）解：∵EC切⊙O于E，
∴EC²=CF•BC．
∵BC=2CE=6，
∴3²⁼CF•6，
∴CF=．
∴BF=BC-CF=6-=．
點評：綜合運用了弦切角定理、切割線定理以及等角的余角相等的性質．