Question

如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．

小題1:求證：EB=GD；
小題2:判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
小題3:若AB=2，AG=，求EB的長

Answer 1

小題1:見解析
小題2:EB⊥GD理由見解析
小題3:

（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠BAD=90°………………………………….1分
在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
∴△GAD≌△EAB……………………………………………………………..2分
∴EB=GD；……………………………………………………………………..3分
（2）EB⊥GD………………………………………………………………………….4分
理由如下：連接BD，
由（1）得：∠ADG=∠ABE，………………………………………………….5分
則在△BDH中，
∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）
=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD……………………………………………………………………….6分
（3）設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，
∵AB=AD=2
∴在Rt△ABD中，DB=，
∴OD=OA=，………………………………………………………………7分
∴OG=……………………………………………………………………..8分
∴EB="GD="