Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) O，以 O 為圓心作圓，⊙O 與 AC 相切于點(diǎn) D．

（1）試判斷 AB 與⊙O 的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）在 Rt△ABC 中，若 AC＝6，AB＝3，求切線 AD 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BA與⊙O相切，證明見解析；（2）AD的長(zhǎng)為2.

【解析】

（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，連接OD，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OE=OD，據(jù)此進(jìn)一步證明即可.

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)△ABC面積=△AOC面積+△BOA面積進(jìn)一步分析得出⊙O半徑，然后通過證明AD=OD求出長(zhǎng)度即可.

（1）

如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，連接OD，

∵AC是圓的切線，

∴OD⊥AC，

∵OA為∠BAC的角平分線，OE⊥AB，

∴OE=OD，

即OE是該圓的半徑，

∴BA與⊙O相切；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，

∵△ABC面積=△AOC面積+△BOA面積，

∴，

∵OE=OD=r，AC=6，AB=3，

∴，

即：，

∴，

∵OA為∠BAC的角平分線，

∴∠OAD=45°，

∵OD⊥AC，

∴∠AOD=45°，

∴AD=OD=r，

即AD的長(zhǎng)為2.