Question

在某次數字變換游戲中，我們把整數0，1，2，…，100稱為“舊數”，游戲的變換規則是：將舊數先平方，再除以100，所得到的數稱為“新數”． 例如：舊數26的新數為26²÷100=6.76
（1）經過上述規則變換后，有人斷言：“按照上述變換規則，所有的新數都小于它的舊數．”你認為這種說法對嗎？請說明理由，若不對，請舉一反例說明．
（2）請求出按照上述規則變換后減小了最多的舊數（要寫出解答過程）．

Answer 1

解：（1）不對．　理由如下：
設這個數為x，按照游戲的變換規則得x²=100x，
解得：x₁=0，x₂=100，
∵0²÷100=0，100²÷100=100，
∴0和100的新數等于它的舊數，不小于它的舊數，
∴這種說法不正確．
（2）設舊數為x，舊數與新數之差為y，
則y=x-，化成頂點式y=-（x-50）²+25，
∵a=-，
∴x=50時，y的值最大25，
因此，減小了最多的舊數是50．
分析：（1）這種說法不對，設這個數為x，按照游戲的變換規則得到x²=100x，解得x₁=0，x₂=100，因為0和100的新數等于它的舊數，不小于它的舊數，所以這種說法不正確；
（2）設減少的量為y，根據題意得y=x-，然后化成頂點式y=-（x-50）²+25，根據二次函數的性質即可得到當x=50時，y有最大值為25．
點評：本題考查了二次函數的頂點式：y=a（x-k）²+h，當a＜0，x=h，y有最大值k；當a＞0，x=h，y有最小值k．