Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．
求：（1）求∠CDB的度數；
（2）當AD=2時，求對角線BD的長和梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由平行線及角平分線的性質可得∠CDB=∠ABD=

1

2

∠ABC，根據等腰梯形兩底角相等的性質可得∠CDB的具體度數；
（2）利用30°的正切值可得BD的長度，也就求得了AB的長度，利用60°正弦值可得梯形的高，進而利用梯形的面積公式可得梯形的面積．

解答：解：（1）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠CBA=∠A=60°．（1分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD=

1

2

∠CBA=30°，（2分）

（2）

在△ABD中，∵∠ADB=180°-∠A-∠ABD=90°．（1分）
∴BD=AD•tanA=2tan60°=2

3

．（1分）
過點D作DH⊥AB，垂足為H，（1分）
∴DH=AD•sinA=2sin60°=

3

．（1分）
∵∠CDB=∠CBD=

1

2

∠CBD=30°，∴DC=BC=AD=2．（1分）
∵AB=2AD=4，（1分）
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）DH=

1

2

×（4+2）×

3

=3

3

（1分）．

點評：綜合考查了解直角三角形的知識及梯形的性質；利用或構造特殊的直角三角形是解決本題的關鍵．