Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x+bx+c的對稱軸為直線x=1,拋物線與x軸交于A.B兩點(點A在點B的左側),且AB=4,又P是拋物線上位于第一象限的點,直線AP與y軸交于點D,與對稱軸交于點E,設點P的橫坐標為t

(1)求點A的坐標和拋物線的表達式;

(2)當AE:EP=1:2時,求點E的坐標;

(3)記拋物線的頂點為M,與y軸的交點為C,當四邊形CDEM是等腰梯形時,求t的值。

Answer 1

【答案】(1) y=x-2x-3；(2) E(1，4)；(3)4

【解析】

(1)依據拋物線的對稱性可得到A、B的坐標,利用拋物線的交點式可得到拋物線的解析式

(2)過點P作PF∥y軸,交x軸與點F,則△AEG∽△APF,從而可得到AF=6,然后可求得PF的長,從而可得到EG的長,故此可得到點E的坐標;

(3)先證明∠ADO=∠CME,然后,再求得點C和點M的坐標,從而可得到tan∠ADO=1,于是可得到OD=AO=1,故此可得到AP的解析式,最后求得直線AP與拋物線的交點坐標即可

(1)∵AB=4,拋物線y=x+bx+c的對稱軸為直線x=1

∴點A到對稱軸的距離為2,

∴A(-1,0),B(3,0),

∴y=(x+1)(x-3)整理得:y=x-2x-3

(2)如下圖所示:過點P作PF⊥z軸,垂足為F

∵EG∥PF,AE:EP=1:2

∴

又∵AG=2,

∴AF=6

∴F(5,0)

當x=5時,y=12

∴EG=4,

∴E(1，4)

(3)∵CD∥EM

∴∠ADO=∠AEM.

又∵四邊形CDEM是等腰梯形,

∴∠ADO=∠CME

∴y=x-2x-3

∴C(0,-3),M(1,-4)

∴tan∠DAO=tan∠CME=1.

∴OA=OD=1.

∴直線AP的解析式為y=x+1.

把y=x+1代入y=x-2x-3得

x+1= x-2x-3

解得:x=4或x=-1(舍去)

∴點P的橫坐標為4,即t=4.