Question

如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C為OB上一點，射線CD⊥OB交AB于點D，OC=2．點P從點A出發以每秒個單位長度的速度沿AB方向運動，點Q從點C出發以每秒2個單位長度的速度沿CD方向運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達到點B時停止運動，點Q也隨之停止．過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，得到矩形PEOF．以點Q為直角頂點向下作等腰直角三角形QMN，斜邊MN∥OB，且MN=QC．設運動時間為t（單位：秒）．
（1）求t=1時FC的長度．
（2）求MN=PF時t的值．
（3）當△QMN和矩形PEOF有重疊部分時，求重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數關系式．
（4）直接寫出△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再將t=1代入求出FC的長度；
（2）根據MN=PF，可得關于t的方程6-t=2t，解方程即可求解；
（3）分三種情況：求出當1≤t≤2時；當2＜t≤時；當＜t≤3時；求出重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數關系式；
（4）分M在OE上；N在PF上兩種情況討論求得△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t的值．
解答：解：（1）根據題意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．
∵，OF=EP=t，
∴當t=1時，FC=1；

（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6-t
MN=QC=2t
∴6-t=2t
解得t=2．
故當t=2時，MN=PF；

（3）當1≤t≤2時，S=2t²-4t+2；
當2＜t≤時，S=-t²+30t-32；
當＜t≤3時，S=-2t²+6t；

（4）設經過t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點，即點M在OA上，
當點P在AD的左側時，設經過t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點，
∵AP=t，∠A=45°，PE⊥AB，
∴PE=t，CQ=2t，
∵MN=CQ，△MNQ是等腰直角三角形，C（2，0）
∴t=2時，△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點；
當點P在AD的右側時，設經過t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點，
此時，PE=t，6-t=2t-2，解得t=，
∴△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t=2或．
點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識有等腰直角三角形的性質，圖形的面積計算，函數思想，方程思想，分類思想的運用，有一定的難度．