Question

如圖，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的頂點C、D、F分別在邊AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是邊AO，OB的中點，求矩形CDEF的面積；
（2）若tan∠CDO=

4

3

，求矩形CDEF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）因為當C、D是邊AO，OB的中點時，點E、F都在邊AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，進而求出CF的值，矩形CDEF的面積可求出；
（2）設CD=x，CF=y．過F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代數式分別表示出CO、AH的長，進而表示出矩形CDEF的面積，再配方可求出面積的最大值．

解答：解：（1）如圖，當C、D是邊AO，OB的中點時，
點E、F都在邊AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴CD=4

2

．
在 Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴CF=2

2

．
∴S矩形CDEF=4

2

×2

2

=16．

（2）設CD=x，CF=y．過F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵tan∠CDO=

4

3

，
∴sin∠CDO=

4

5

，cos∠CDO=

3

5

．
∴CO=

4

5

x．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴HC=y•cos∠FCH=

3

5

y．
∴FH=

CF2-CH2

=

4

5

y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=

4

5

y．
∴AO=AH+HC+CO．
∴

7y

5

+

4x

5

=8．
∴y=

1

7

(40-4x)．
易知S矩形CDEF=xy=

1

7

(40x-4x2)=-

4

7

[(x-5)2-25]，
∴當x=5時，矩形CDEF面積的最大值為

100

7

．

點評：本題考查了二次函數與幾何知識（矩形）的綜合應用和求二次函數的最值，將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．