Question

（2010•衡陽）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D的切線交BC于E．
（1）求證：DE=BC；
（2）若tanC=，DE=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，根據直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根據切線的判定定理知BC是圓的切線，結合切線長定理得到BE=DE，再根據等邊對等角以及等角的余角相等證明DE=CE；
（2）在直角三角形ABC中，根據銳角三角函數的概念以及勾股定理計算它的三邊．再根據相似三角形的判定和性質進行計算．
解答：（1）證明：連接BD，
∵AB是直徑，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線，∠BDC=90°．
∵DE是⊙O的切線，
∴DE=BE（切線長定理）．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE．
故DE=BC．

（2）解：由（1）知，BC=2DE=4．
在Rt△ABC中，AB=BCtanC=4×=2，
AC==6．
∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
∴，
∴=．
解得AD=．
點評：本題考查了圓及三角函數的相關知識，注意數形結合思想的運用．