【題目】如圖，矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，折痕AO與邊BC交于點O，連結AP、OP．
（1）求證：△PDA∽△OCP；
（2）若tan∠PAO＝
，求CP的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）4.
【解析】
（1）由矩形的性質可知∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可知，∠APC=90°，利用余角的性質可知∴∠DAP=∠CPO，即可由相似三角形的判定推出結論；
（2）利用正弦函數的定義及相似三角形的性質可直接求出CP的長．
（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊，可知：∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠CPO=90°，
∵∠APD+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠CPO，
∴△PDA∽△OCP；
（2）由折疊，可知：∠APO=∠B=90°，AP=AB，PO=BO，
∴tan∠PAO=
，
∵△PDA∽△OCP，
∴
，
∵AD=8，
∴CP=4．
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【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，過點A作AG⊥ED交DE于點F，交CD于點G．
（1）證明：△ADG≌△DCE；（2）連接BF，證明：AB＝FB．
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【題目】（1）（問題發現）
如圖1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，延長CA到點F，使得AF＝AC，連接DF、BE，則線段BE與DF的數量關系為 ，位置關系為 ；
（2）（拓展研究）
將△ADE繞點A旋轉，（1）中的結論有無變化？僅就圖（2）的情形給出證明；
（3）（解決問題）
當AB＝2，AD＝
，△ADE旋轉得到D，E，F三點共線時，直接寫出線段DF的長．
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【題目】在一次數學活動課上，老師帶領同學們去測量一座古塔CD的高度．他們首先從A處安置測傾器，測得塔頂C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前進50米到達B處，此時測得仰角∠CGE=37°，已知測傾器高1.5米，請你根據以上數據計算出古塔CD的高度．
（參考數據：sin37° 
，tan37° 
，sin21°≈
，tan21°≈
）
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【題目】已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．
（1）如圖1，若AB為邊在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度數；
（2）如圖2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝4，BD＝6．
①若α＝30°，β＝60°，AB的長為 ；
②若改變α、β的大小，且α+β＝90°，求△ABC的面積．
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【題目】如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為
，點O為斜邊AB的中點，點P為AB上任意一點，連接PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCD，連接BD.
(1)求證： 
；
(2)請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由.
(3)當點P在線段AB上運動時，設AP=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數關系式.
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數y＝
(x＞0)的圖象經過AO的中點C，交AB于點D，且AD＝3．
(1)設點A的坐標為(4，4)則點C的坐標為 ；
(2)若點D的坐標為(4，n)．
①求反比例函數y＝的表達式；
②求經過C，D兩點的直線所對應的函數解析式；
(3)在(2)的條件下，設點E是線段CD上的動點(不與點C，D重合)，過點E且平行y軸的直線l與反比例函數的圖象交于點F，求△OEF面積的最大值．
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