Question

（2003•泰安）（1）已知△ABC為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點．就下面給出的三種情況（如圖①、②、③），先用量角器分別測量∠BQM的大小，然后猜測∠BQM等于多少度，并利用圖③證明你的結論．

（2）將（1）中的“正△ABC”分別改為正方形ABCD（如圖④）、正五邊形ABCDE（如圖⑤）．正六邊形ABCDEF（如圖③）、…、正n邊形ABCD…X（如圖（n）），“點N是射線CA上任意一點”改為點N是射線CD上任意一點，其余條件不變，根據(jù)（1）的求解思路，分別推斷∠BQM各等于多少度，將結論填入下表：

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質和BM=CN，容易證明△ABM≌△BCN，再根據(jù)確定全等三角形的性質，可以得到∠BAM=∠CBN，而∠BQM=∠ABN+∠BAM，現(xiàn)在可以得到∠BQM=∠ABC=60°；
（2）將（1）中的“正△ABC”分別改為正方形ABCD（如圖④）、正五邊形ABCDE（如圖⑤）．正六邊形ABCDEF等等，始終都可以證明△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的性質始終都可以證明∠BQM=∠ABC，再根據(jù)正多邊形的邊數(shù)就可以求出各自的度數(shù)．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
而BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
而∠BQM=∠ABN+∠BAM（三角形外角定理），
∵∠ABM=∠ABN+∠NBC，
∴∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠NBC，
∴∠BQM=∠ABC=60°；

（2）同理可證：△ABM≌△BCN，
所以正方形：90°；
正五邊形ABCDE：108°；
正六邊形ABCDEF：120°；
正n邊形ABCD…X：．
點評：此題利用了數(shù)學的常用思想--由簡單到復雜，首先探究正三角形，然后到正n邊形，都是用全等三角形的性質解決問題．