Question

閱讀理解：通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小，與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化。類似地，可以在等腰三角形中，建立邊角之間的聯系。我們定義：等腰三角形中底邊長與腰長的比叫做頂角正對（sad）。如圖1，在⊿ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=。容易知道一個角的大小，與這個角的正對值也是相互唯一確定的。根據上述角的正對定義，解下列問題：

1.計算：sad60°=  ▲  

2.對于0°＜A＜90°，∠A的正對值sadA的取值范圍是  ▲   ；

3.如圖2，已知△DEF中，∠E=90°，cosD=，試求sadD的值。

 

Answer 1

【答案】

 

1.根據正對定義，當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°=1/1 =1

2.當∠A接近0°時，sadα接近0，當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．

3.解法一：延長DE到M，使DM=DF，連接FM   ………………………  7分

在Rt△DEF中，設DE=4k，則DF=5k，

EF= ………………… 8分

∴ME=5k-4k=k

在Rt△EFM中，FM=   …  10分

∴sadD=  ……………………………………………………   12分

解法二：在Rt△DEF中，設DE=4k，則DF=5k，EF= ……… 7分

在DF上截取DN=DE=4k，過點N作NH⊥DE于H，連接EN  …………………… 8分

則FN=k

∵△DNH∽△DFE    ∴

∴HN=，DH= 

∴EH=4k-=，

EN=   …………… 10分

∴ ………………………………………………   12分

【解析】（1）根據等腰三角形的性質，求出底角的度數，判斷出三角形為等邊三角形，再根據正對的定義解答；

（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出直角△ABC，構造等腰三角形，根據正對的定義解答．