Question

【題目】已知拋物線:的項點為，交軸于、兩點(點在點左側)，且．

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)過點的直線交拋物線于點,交軸于點,若的面積被軸分為1: 4兩個部分，求直線的解析式；

(3)在(2)的情況下，將拋物線繞點逆時針旋轉180°得到拋物線,點為拋物線上一點，當點的橫坐標為何值時，為直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3）點橫坐標為或或或時，為．

【解析】

（1）求拋物線l1的頂點P（0，-2）得OP=2，由求得BP的長，進而求得OB即點B坐標，代入拋物線l1的解析式即求得a的值．

（2）求點A坐標為（-4，0），設直線AC解析式為y=kx+b，把點A代入得b=4k，所以能用k表示點D坐標，進而用k表示△AOD和△BOD的面積．把直線AC解析式與拋物線l1解析式聯立方程，即y相等時得到一個關于x的一元二次方程，解即為點A、C橫坐標，利用根與系數的關系求出點C橫坐標（用k表示），進而可用k表示C的縱坐標，再得到用k表示的△ABC面積．當k＞0時，顯然S△AOD：S四邊形OBCD=1：4，即S△AOD=S△ABC，故得到關于k的方程，求解即得k的值．當k＜0，則得到的方程與k＞0時相同，求得的k不滿足題意．綜合即求得直線AC的解析式．

（3）由于不確定點B、D、M哪個為直角頂點，故需分三種情況討論．設點M橫坐標為m，①若∠BDM=90°，過M作MN⊥y軸于點N，可證△BDO∽△DMN，用m表示MN、DN的長，代入相似三角形對應邊成比例即列得方程求m的值．②若∠DBM=90°，過點M作MQ⊥x軸于點Q，可證△BMQ∽△DBO，用m表示BQ、MQ的長，代入相似三角形對應邊成比例即列得方程求m的值．③若∠BMD=90°，則點M在以BD為直徑的圓除點B、D外的圓周上，但顯然以AB為直徑的圓與拋物線l2無交點，故此情況不存在滿足的m．

（1）當時，

∴頂點，

∵，

∴

∴

∴

∴，代入拋物線得：

，解得，

∴拋物線的函數解析式為

（2）∵知拋物線交軸于、兩點

∴、關于軸對稱，即

∴

設直線解析式：點代入得：

∴

∴直線：，

∴

∵，整理得：

∴

∵

∴，

∴

∴

①若，則

∴

∴

解得：（舍去），

∴直線的解析式為

②若，則，

∴解得：（舍去），（舍去）

綜上所述，直線的解析式為.

（3）由（2）得：，

∵拋物線繞點逆時針旋轉得到拋物線

∴拋物線解析式為：

設點坐標為

①若，如圖1，則 過作軸于點

∴，，

∴

∴

∴

∴，即

∴

解得：，

②若，如圖2，過點作軸于點

∴，，

∴

∴

∴

∴，即

∴解得：，

③若，則點在以為直徑的圓除點、外的圓周上

顯然以為真徑的圓與拋物線無交點，故此情況不存在滿足的

綜上所述，點橫坐標為或或或時，為.