Question

如圖，⊙O的直徑AC=13，弦BC=12．過點A作直線MN，使∠BAM=

1

2

∠AOB．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）延長CB交MN于點D，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）證MN⊥AC即可．由AC是直徑得∠ABC=90°，從而有∠C+∠BAC=90°；因∠BAM=

1

2

∠AOB=∠C，所以∠BAM+∠BAC=90°，得證；
（2）根據勾股定理可求AB的長．由tanC=

AB

BC

=

AD

AC

可求AD．

解答：（1）證明：∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAM=

1

2

∠AOB=∠C，
∴∠BAM+∠BAC=90°，即∠CAM=90°．
∴MN是⊙O的切線．

（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=12，
∴AB=5．
∵tanC=

AB

BC

=

AD

AC

，
∴

5

12

=

AD

13

，
∴AD=

65

12

．

點評：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識點，難度中等．