Question

【題目】定義：如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中項，則稱這個四邊形為“閃亮四邊形”，這條對角線稱為“亮線”．如圖1，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，滿足AC2=ABAD，四邊形ABCD是閃亮四邊形，AC是亮線．

（1）以下說法正確的是______（填寫序號）

①正方形不可能是閃亮四邊形；

②矩形中存在閃亮四邊形；

③若一個菱形是閃亮四邊形，則必有一個內角是60°．

（2）如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，AB=12，CD=20，判斷哪一條線段是四邊形ABCD的亮線？請你作出判斷并說明理由．

（3）如圖3，AC是閃亮四邊形ABCD的唯一亮線，∠ABC=90°，∠D=60°，AB=4，BC=2，請直接寫出線段AD的長．

Answer 1

【答案】(1)①、③；(2)為四邊形的亮線；(3).

【解析】

（1）根據閃亮四邊形的定義一一判斷即可．

（2）如圖2中，作DH⊥BC于H．求出BD，AC即可判斷．

（3）想辦法證明△ADC是等邊三角形即可解決問題．

解：(1) ①設正方形的邊長為a，則對角線長為a，

，

∴正方形不可能是閃亮四邊形．故①正確

②如圖①中，四邊形ABCD是矩形，AE⊥AC于E，不妨設矩形是閃亮四邊形．

則AC2=ADCD，

，

∴DE=AC，

∵AC＞AD＞DE，顯然與DE=AC矛盾，假設不成立，

∴矩形不可能是閃亮四邊形，故②錯誤．

③如圖②中，四邊形ABCD是菱形，

∵四邊形ABC都是閃亮四邊形，

不妨設AC2=ADCD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=CD，

∴AC=AD=CD，

∴△ADC是等邊三角形，

∴∠D=60°，

∴若一個菱形是閃亮四邊形，則必有一個內角是60°．故③正確．

故答案為①③

(2)過點作于點，

∵，，∴

∴，∴四邊形為矩形

∵，，

∴，，．

又∵，

∴，

此時，

∴，即為四邊形的亮線．

(3) 如圖3中，作CH⊥AD于H．

∵DH=CDcos∠D，CH=CDsin∠D，AH=AD-CDcos∠D，

∴AC2=AH2+CH2=（AD-CDcos∠D）2+（CDsin∠D）2

=AD2+CD2-2ADCDcos∠D

=AD2+CD2-ADCD，

∵AC2=ADCD，

∴AD2-2ADCD+CD2=0，

∴（AD-CD）2=0，

∴AD=CD，∵∠D=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

.