Question

（2010•湘潭）Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．
（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；
（2）取BC中點O，將△ABC繞點O順時鐘方向旋轉到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點，猜想OQ、OP長度的大小關系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，指出當旋轉角至少為多少度時，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）已知△ABC≌△FCB，根據全等三角形的性質可知AB=CF，AC=BF，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結論．
（2）根據已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根據全等三角形的性質即可得到OP=OQ．
（3）根據對角線互相垂直的平行四邊形的菱形進行分析即可．
解答：（1）證明：∵△ABC≌△FCB，（1分）
∴AB=CF，AC=BF．（2分）
∴四邊形ABFC為平行四邊形．（3分）
（用其它判定方法也可）

（2）解：OP=OQ，（4分）
理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，
∴△COQ≌△BOP．（6分）
∴OQ=OP．（7分）
（用平行四邊形對稱性證明也可）

（3）解：90°．
理由：∵OP=OQ，OC=OB，
∴四邊形PCQB為平行四邊形，
∵BC⊥PQ，
∴四邊形PCQB為菱形．（8分）
點評：此題考查學生對平行四邊形的判定及性質，全等三角形的判定，菱形的判定等知識的綜合運用．