Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是BC的中點，連接OD，OB，DE．
（1）求證：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CD；根據等腰三角形的性質，結合角之間的互余運算，易得∠EDO=90°，即可證出OD⊥DE；
（2）過O作OF⊥AD；構造直角三角形BOC；再根據等邊三角形的性質，易得BO與OF的值，在三角函數公式中代入數據可得答案．
解答：（1）證明：連接CD，∵AC是直徑，∴∠ADC=∠BDC=90°，（2分）
∵E是BC的中點，
∴DE=BE=EC．（3分）
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．（4分）
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，（5分）
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE．（6分）

（2）解：過O作OF⊥AD；（7分）
∵在Rt△ABC中，tanA==，
∴∠A=60°，∴△AOD是邊長為2的等邊三角形，
∴OF=．（8分）
在Rt△BOC中，BO=，（9分）
∴sin∠ABO=．（10分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括直線垂直的判定，三角函數的求值，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．