Question

已知關于x的一元二次方程x²+cx+a=0的兩個整數根恰好比方程x²+ax+b=0的兩個根都大1，求a+b+c的值．

Answer 1

【答案】分析：設出第一個方程的兩根，表示出后面方程的另2根．利用根與系數的關系均得到與a的關系，進而消去a，得到兩個一次項的積為一個常數的形式，判斷可能的整數解，得到a，b，c的值，相加即可．
解答：解：設方程x²+ax+b=0的兩個根為α，β，
∵方程有整數根，
設其中α，β為整數，且α≤β，
則方程x²+cx+a=0的兩根為α+1，β+1，
∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，（5分）
兩式相加，得αβ+2α+2β+1=0，
即（α+2）（β+2）=3，
∴或（10分）
解得或
又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，
∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=-3，或29．（20分）
點評：主要考查一元二次方程根與系數關系的應用；利用根與系數的關系得到兩根之間的關系是解決本題的關鍵；消去a后得到兩個一次項的積為一個常數的形式是解決本題的難點．