Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F.

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AC＝3AE，寫出求tanC的思路.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根據切線的判定得出即可；

（2）由AC＝3AE可設AC＝3x，AE＝x，則AB＝AC＝3x，EC＝4x；連結BE，由AB是直徑可知∠AEB＝90°，根據勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可.

（1）證明：連接OD，

∵AB為直徑∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠C＝∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD為半徑，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：思路是：

連接BE，

∵AC＝3AE，AB＝AC，

∴設AE＝x，AC＝AB＝3x，

∵AB是直徑，

∴∠E＝90°，

在Rt△BEA中，由勾股定理得：BE＝，

在Rt△ECB中，tanC＝.