Question

如圖，拋物線和直線y=kx-4k（k＜0）與x軸、y軸都相交于A、B兩點，已知拋物線的對稱軸x=-1與x軸相交于C點，且∠ABC=90°，求拋物線的解析式．

Answer 1

解：對于y=kx-4k（k＜0），令y=0，x=4，得A的坐標（4，0）；令x=0，y=-4k，得B的坐標（0，-4k），C點坐標為（-1，0），則A點關于對稱軸對稱的點坐標為（-6，0），
設拋物線的解析式y=a（x+6）（x-4），
又∵∠ABC=90°，
∴Rt△BOC∽Rt△AOB，
∴OB²=OC•OA，即（-4k）²=1×4，而k＜0，
∴k=-，則B點坐標（0，2）．
把（0，2）代入解析式得，2=a×6×（-4），解得a=-．
∴y=-（x+6）（x-4），
所以拋物線的解析式為y=-x²-x+2．
分析：先由y=kx-4k（k＜0）得到A（4，0），B（0，-4k）；又可得C（-1，0），即可求出A點關于對稱軸對稱的點坐標為（-6，0），
則可設拋物線的解析式y=a（x+6）（x-4）．易證Rt△BOC∽Rt△AOB，得到OB²=OC•OA，即（-4k）²=1×4，而k＜0，求出k的值，即得到B點坐標，然后代入解析式得到a的值．
點評：本題考查了用待定系數法確定二次函數的解析式．設二次函數的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂為拋物線與x軸交點的橫坐標．也考查了三角形相似的判定與性質．