Question

如示意圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A是x軸的負半軸上一點，以AO為直徑的⊙P經過點C（-8，4）．點E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE與x軸相交于點M，過C點作直線CN交x軸于點N，交⊙P于點F，使得△CMN是以MN為底的等腰三角形，經過E、F兩點的直線與x軸相交于點Q．
（1）求出點A的坐標；
（2）當m=-5時，求圖象經過E、Q兩點的一次函數(shù)的解析式；
（3）當點E（m，n）在⊙P上運動時，猜想∠OQE的大小會發(fā)生怎樣的變化？請對你的猜想加以證明．

Answer 1

（1）如圖1，過C點作CD⊥x軸于點K，與⊙P相交于點D，
∵AO為直徑，
∴CK=KD，CK²=AK•KO，
∵點C的坐標為（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴4²=AK•8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴點A的坐標為（-10，0）；（2分）

（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如圖2，連接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x軸于P，
又∵點E（-5，n）中⊙，且n＜0，
∴點E的坐標為（-5，-5），
∵△CMN是以MN為底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽Rt△PEQ，
∴

PK

EP

=

KD

PQ

，
即

3

5

=

4

PQ

，
∴PQ=

20

3

，
∴OQ=OQ+PQ=5+

20

3

=

35

3

，
∴點Q的坐標為(-

35

3

，0)，
設圖象經過E、Q兩點的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-5=-5k+b 0=- 35 3 k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 35 4

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x-

35

4

；（5分）

（3）猜想：當點E在⊙P上運動時，∠OQE的大小始終保持不變，（6分）
證明：因為-10＜m≤-5，n＜0，可知點E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運動（點E不與點A、點D重合），
如圖，在⊙P的四分之一的圓上任取一點E（點E不與點A、點D重合），連接PD，過點E作EH⊥x軸于點H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

，
∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始終不變，
∴∠OQE的大小始終不變，
綜上所述，當點E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運動（點E不與點A、點D重合）時，∠OQE的大小始終不變．（8分）
（注：其他解法酌情給分）