Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=9cm，點P從點C出發沿CB邊向點B點以2cm/s的速度移動，點Q點從B點出發沿BA邊向A點以5cm/s速度移動．P、Q兩點同時出發，它們移動的時間為t秒鐘．
（1）你能用t表示BP和BQ的長度嗎？請你表示出來．
（2）請問幾秒鐘后，△PBQ為等邊三角形？
（3）若P、Q兩點分別從C、B兩點同時出發，并且都按順時針方向沿△ABC三邊運動，請問經過幾秒鐘后點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

解：（1）∵等邊△ABC，
∴BC=AB=9cm，
∵點P的速度為2cm/s，時間為ts，
∴CP=2t，
則PB=BC-CP=（9-2t）cm；
∵點Q的速度為5cm/s，時間為ts，
∴BQ=5t；

（2）若△PBQ為等邊三角形，
則有BQ=BP，即9-2t=5t，
解得t=，
所以當t=s時，△PBQ為等邊三角形；

（3）設ts時，Q與P第一次相遇，
根據題意得：5t-2t=18，
解得t=6，
則6s時，兩點第一次相遇．
當t=6s時，P走過得路程為2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此時P在AB邊上，
則兩點在AB上第一次相遇．
分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊相等得到AB=BC=9cm，由P的速度和時間t表示出P走過的路程CP的長，然后用邊長BC減去CP即可表示出BP；由Q的速度及時間t，即可表示出Q走過的路程BQ；
（2）若△PBQ為等邊三角形，根據等邊三角形的邊長相等則有PB=BQ，由（1）表示出的代數式代入即可列出關于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的t的值；
（3）同時出發，要相遇其實是一個追及問題，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，題意可知兩點相距AB+AC即兩個邊長長，第一次相遇即為Q比P多走兩個三角形邊長，設出第一次相遇所需的時間，根據Q運動的路程-P運動的路程=18列出關于t的方程，求出方程的解即可求出滿足題意的t的值，然后由求出t的值計算出P運動的路程，確定出路程的范圍，進而判斷出P的位置即為第一次相遇的位置．
點評：此題考查了等邊三角形的性質，是一道探究型動點題，解決此類型題先假設結論成立，看是否導致矛盾，還是達到與已知條件相符，從而確定探究的結論是否成立，對于動點問題，常�；瘎訛殪o，尋找特殊位置，從而解決問題，例如此題的第三問，應理解為追及問題，找出等量關系Q運動的路程-P運動的路程=2倍的等邊三角形邊長是解題的關鍵．