Question

【題目】有一批圓心角為90o，半徑為3的扇形下腳料，現利用這批材料截取盡可能大的正方形材料，如圖有兩種截取方法：

方法一：如圖1所示，正方形OPQR的頂點P、Q、R均在扇形的邊界上；

方法二：如圖2所示，正方形頂點C、D、E、F均在扇形邊界上．

試分別求這兩種截取方法得到的正方形面積，并說明哪種截取方法得到的正方形面積更大．

Answer 1

【答案】方法一：S1=；方法二：S2=．方法一的面積更大．

【解析】試題分析：根據題意畫出圖形，分別連接PQ和過O作OG⊥DE，交CF于點H，連接OF，構造直角三角形求得正方形的邊長，求得正方形的面積后比較即可．由于正方形內接于扇形，故應分兩種情況進行討論．

試題解析：解：方法一：如圖1

連結OQ

∵OQ=3，四邊形OPQR為正方形

∴S1=3×3÷2=

方法二：如圖2

過O作OH⊥EF

設FH=a 則OH=3a

在Rt△OHF中

∴

解得：

∴EF=

∴S2==

∵S1＞S2 ∴方法一的面積更大