Question

已知b、c是滿足c＞b＞0的整數，方程x²-bx+c=0有兩個不等的實根x₁和x₂，設P=x₁+x₂，Q=x₁²+x₂²，R=（x₁+1）（x₂+1），試比較P、Q、R的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數的關系得出x₁+x₂=-

-b

1

=b，x₁•x₂=c，b²-4c＞0，從而得出Q，R，P的取值范圍，即可比較出大小關系．

解答：解：∵方程x²-bx+c=0有兩個不等的實根x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

-b

1

=b，x₁•x₂=c，b²-4c＞0，
∵P=x₁+x₂，
∴P=x₁+x₂=b，
∵Q=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=b²-2c，
∵R=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=b+c+1．
∵b、c是滿足c＞b＞0的整數，
∵b²-4c＞0，
∴Q=b²-2c＞2c，
∴R=b+c+1≤2c，
∴Q＞R＞P，

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系以及根的判別式，根據題意綜合應用根與系數關系得出Q，R的取值范圍是解決問題的關鍵．