Question

（1）如圖1所示，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連結FG，延長AF，AG，與直線BC分別交于點M、N，那么線段FG 與△ABC的周長之間存在的數量關系是什么？即：FG=____（AB+BC+AC）（直接寫出結果即可）
（2）如圖2，若BD，CE分別是△ABC的內角平分線；其他條件不變，線段FG與ΔABC三邊之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明。
（3）如圖3，若BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線，其他條件不變，線段FG與ΔABC三邊又有怎樣的數量關系？直接寫出你的猜想即可。不需要證明。

Answer 1

解：（1）FG=（AB+BC+AC）；
（2）FG=（AB+AC-BC）； 證明：延長AG交BC于N，延長AF交BC于M， ∵AF⊥BD，AG⊥CE， ∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°， 在RtΔAGC和RtΔCGN中， ∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG， ∴RtΔAGC≌RtΔCGN， ∴AC=CN，AG=NG， 同理可證：AF=FM，AB=BM， ∴GF是ΔAMN的中位線， ∴GF=MN， ∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM， ∴AB+AC-BC=MN， ∴GF=MN=（AB+AC-BC）；
（3）線段FG與ΔABC三邊之間數量關系是：GF=（AC+BC-AB）。