Question

【題目】如圖所示，AB 是⊙O 的直徑，P 為 AB 延長線上的一點，PC 切⊙O 于點 C，AD⊥PC， 垂足為 D，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 于點 F，連接 AE．

（1）求證：PC=PF；

（2）若 tan∠ABC=，AE=5，求線段 PC 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)PC=12．

【解析】（1）由切線得：OC⊥PC，再得平行，由同圓的半徑相等：OA=OC，根據等邊對等角可得結論；

（2）證明∠PFC=∠PCF，根據等角對等邊可得結論；

（3）根據三角函數的比設未知數，利用勾股定理列方程可得結論．

（1）證明：∵PC 為⊙O 的切線，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC 平分∠DAB；

∵CE 平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴，

∴∠ABE=∠ECB，

∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°，

∴∠BCP=∠BAC，

∵∠BAC=∠BEC，

∴∠BCP=∠BEC，

∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF；

（2）∵，

∴AE=BE=5，

又∵AB 是直徑，

∴∠AEB=90°，

AB=BE=10，

∴OB=OC=5，

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∴，

∵tan∠ABC=，

∴.

設 PB=2x，則 PC=3x，

在 Rt△POC 中，（2x+5）2=（3x）2+52， 解得 x1=0（舍）x2=4，

∵x＞0，

∴x=4，

∴PC=3x=3×4=12．