Question

（2012•南湖區二模）如圖，已知D、E、F分別是等邊△ABC的邊AB、BC、AC上的點，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，則下列結論不成立的是（　　）

• A．△DEF是等邊三角形
• B．△ADF≌△BED≌△CFE
• C．DE=

  1

  2

  AB
• D．S_△ABC=3S_△DEF

Answer 1

分析：求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等邊三角形DEF，根據全等三角形性質推出三個三角形全等即可．求出AB=3BE，DE=

3

BE，即可判斷選項C．根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可判斷選項D．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，
∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，
∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-90°-30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等邊三角形，
在△ADF、△BED、△CFE中

∠ADF=∠BED=∠CFE ∠A=∠B=∠C DF=DE=EF

∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AD=BE=CF，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，DE=

3

BE，
∴AB=3BE，
即

3

DE=AB，
即DE=

1

2

AB錯誤；
∵△ABC和△DEF是等邊三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴S_△ABC：S_△DEF=（AB）²：（DE）²=（

3

DE）²：DE²=3，
即只有選項C錯誤；選項A、B、D正確．
故選C．

點評：本題考查了等邊三角形性質，含30度角的直角三角形性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．