Question

如圖1，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為 (2,4)；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3.

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖12所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）.

① 當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

② 設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）因所求拋物線的頂點M的坐標為(2,4)，

故可設其關系式為 

又拋物線經過O(0,0)，于是得， 

解得 a=-1                                     

∴ 所求函數關系式為，即.

（2）① 點P不在直線ME上.                         

根據拋物線的對稱性可知E點的坐標為(4,0)，

又M的坐標為(2,4)，設直線ME的關系式為y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直線ME的關系式為y=-2x+8.

由已知條件易得，當t時，OA=AP，

∵ P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=-2x+8.        

∴ 當t時，點P不在直線ME上.

② S存在最大值. 理由如下：)

∵ 點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上， ∴ OA=AP=t.

∴ 點P，N的坐標分別為(t,t)、(t,-t ²+4t)       ∴ AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,

∴ AN-AP=(-t ²+4 t)- t=-t ²+3 t=t(3-t)≥0 ,     ∴ PN=-t ²+3 t 

（）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴ S=DC?AD=×3×2=3.

（）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=(CD+PN)?AD=[3+(-t ²+3 t)]×2=-t ²+3 t+3=

其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜＜3，此時.

綜上所述，當t時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，

這個最大值為.

說明：（）中的關系式，當t=0和t=3時也適合.