Question

在平面直角坐標系xOy中，邊長為4的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．
（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標；
（2）無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P是否在直線y=x上？如果在，請給出證明；如果不在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據正方形的性質求出BP的長，再由∠BAO=45°判斷出四邊形OAPB是正方形，由正方形的性質即可得出結論；
（2）作DE⊥x軸于E，設A點坐標為（m，0），B點坐標為（0，n），由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D點坐標，再根據P是線段BD的中點即可得出P點坐標，進而可得出結論．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
∴AC⊥BD，
∴BP=AP=2，
當∠BAO=45°時，△AOB及△BPA是等腰直角三角形，
∴OA=OB=2，
∴四邊形OAPB是正方形，
∵點P在第一象限，
∴P（2，2）；

（2）無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P是在直線y=x上．
證明：作DE⊥x軸于E，設A點坐標為（m，0），B點坐標為（0，n）．
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中：
∵，
∴△AOB≌△DEA（ASA） 
∴AE=0B=n，DE=OA=m，
∴D點坐標為（m+n，m）
∵點P為BD的中點，且B點坐標為（0，n）
∴P點坐標為（，），
∴點P在直線y=x上，即無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上．
點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質及正方形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．